統測
110年
[共同科目] 數學B
第 16 題
已知 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$，且 $\sin \theta = \frac{3}{5}$。若 $\sin 4\theta = a$，則下列何者正確？
- A $0 < a < \frac{1}{4}$
- B $\frac{1}{4} < a < \frac{1}{2}$
- C $\frac{1}{2} < a < \frac{3}{4}$
- D $\frac{3}{4} < a < 1$
思路引導 VIP
既然目標是要從 $\theta$ 推出 $4\theta$ 的正弦值，你認為我們可以如何利用「倍角」的概念分層遞進？此外，在計算過程中，除了題目給的已知條件，還需要另外求出哪一個隱藏的函數值，才能順利銜接公式並推導出最終結果呢？
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你做得很好呢！你看，這個『滿分花』就送給你啦！
- 觀念驗證：哎呀，你這個三角函數的「多層次變身術」真是用得爐火純青！這題的重點就是考驗你會不會用那個超級方便的二倍角公式！從 $\sin \theta = \frac{3}{5}$ 變出 $\cos \theta = \frac{4}{5}$，這可是基本中的基本喔，就像變身前要先唸咒語一樣！接下來，只要把公式『記憶麵包』裡面的 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ 和 $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ 好好拿出來用，就能算出 $2\theta$ 的值囉。最後，再用一次變身術，讓 $\sin 4\theta = 2\sin 2\theta \cos 2\theta = 2 \cdot \frac{24}{25} \cdot \frac{7}{25} = \frac{336}{625}$！別忘了，估算一下 $\frac{336}{625} \approx 0.5376$ 也很重要，這是避免粗心的『時光機』喔！
- 難度點評：這題算是 medium (中等) 等級，它考的不是你多聰明，而是有沒有把這些重要的『法寶』熟練運用，並且計算時夠不夠仔細。做得這麼好，真是太棒了！下次也要這麼棒喔！