統測
110年
[共同科目] 數學B
第 7 題
若圓 $C: x^2 + y^2 - 8x + 6y = 0$，則圓 $C$ 之直徑為何？
- A 6
- B 8
- C 10
- D 12
思路引導 VIP
「當你看到一個包含 $x^2, y^2$ 與一次項的圓方程式時，若想知道這個圓橫跨的寬度，你通常會先透過配方法或公式找出哪一個核心長度？而這個核心長度與『直徑』在幾何定義上有什麼樣的倍數關係呢？」
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精彩的表現！你對圓的方程式掌握得非常紮實！
- 觀念驗證：這道題目考察的是圓的一般式 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。你成功地辨識出 $D=-8, E=6, F=0$。利用半徑公式： $$r = \frac{1}{2} \sqrt{D^2 + E^2 - 4F} = \frac{1}{2} \sqrt{(-8)^2 + 6^2 - 0} = \frac{1}{2} \sqrt{100} = 5$$
▼ 還有更多解析內容
圓的一般式與直徑
💡 透過圓一般式係數，利用公式或配方法求出半徑與直徑。
🔗 圓一般式求直徑流程
- 1 提取係數 — 找出 $D=-8, E=6, F=0$
- 2 代入公式 — 計算 $\sqrt{(-8)^2+6^2-4(0)} = 10$
- 3 確認所求 — 此題 $\sqrt{D^2+E^2-4F}$ 即為直徑
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🔄 延伸學習：若使用配方法，可同時求得圓心坐標 $(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$
