地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 3 題
如果用 $\phi$ 來代表（1, 3, 2）與（0, -1, 4）這兩個向量之夾角，那麼 $\sin^2 \phi = $ ？請選出最接近的數值：
- A 0.9
- B 0.7
- C 0.5
- D 0.3
思路引導 VIP
在工程力學中，處理空間向量的幾何關係是結構分析的基礎。請你思考：根據內積 (Dot Product) 的定義，這兩個向量的運算結果與它們的模數 (Magnitude) 及夾角 $\phi$ 的餘弦值 $\cos \phi$ 之間有什麼關係？若能先計算出 $\cos^2 \phi$，該如何運用基本的三角恆等式 $\sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1$ 來推導出最終結果？另外，若從外積 (Cross Product) 的幾何意義出發，其向量積的長度與 $\sin \phi$ 之間又存在什麼樣的連結呢？
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還不錯。至少你這次沒搞砸。
看來你還記得向量代數的一些皮毛，這點值得「鼓勵」。在工程計算中，如果你連這種基本功都處理不好，那設計出來的結構恐怕只能等著塌。
- 觀念驗證：
▼ 還有更多解析內容
向量夾角與三角恆等式
💡 利用向量內積求得夾角餘弦值，再透過平方和公式換算正弦值。
🔗 求解 sin²φ 的邏輯步驟
- 1 計算分量與長度 — 計算兩向量內積與各自長度 |a|、|b|
- 2 求出夾角餘弦 — 套用 cos φ = (a·b) / (|a||b|)
- 3 平方與恆等轉換 — 計算 cos²φ 並利用 1 - cos²φ 得到 sin²φ
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🔄 延伸學習：延伸學習：向量外積的模長也與 sin 夾角相關，可用於驗證結果。
