高考申論題
111年
[核子工程] 原子物理
第 一 題
📖 題組：
五、電子侷限在三維的位能阱中，位能阱是由邊長 L = 1 nm 的正方體盒子組成，在阱內部電子不受力。電子波函數滿足以下條件：
（每小題 10 分，共 20 分）
ψ = 0 at x = y = z = 0 and ψ = 0 at x = y = z = L
（一）寫出電子波函數的通解。
（二）若電子由第一激發態（first excited state）躍遷至基態（ground state），則躍遷過程釋放出光子的頻率為何？
五、電子侷限在三維的位能阱中，位能阱是由邊長 L = 1 nm 的正方體盒子組成，在阱內部電子不受力。電子波函數滿足以下條件：
（每小題 10 分，共 20 分）
ψ = 0 at x = y = z = 0 and ψ = 0 at x = y = z = L
（一）寫出電子波函數的通解。
（二）若電子由第一激發態（first excited state）躍遷至基態（ground state），則躍遷過程釋放出光子的頻率為何？
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
寫出電子波函數的通解。
思路引導 VIP
本題核心為「三維無限深方形位能阱（Particle in a 3D box）」。解題時應先寫出無受力區的薛丁格方程式，利用「分離變數法」將三維拆解為三個一維問題。接著代入題目給定的邊界條件求出量子化的波數，最後務必執行波函數的歸一化（Normalization），並可適度補充電子自旋態以使答案更完備。
小題 (二)
若電子由第一激發態（first excited state）躍遷至基態（ground state），則躍遷過程釋放出光子的頻率為何？
思路引導 VIP
看到三維位能阱躍遷，首先寫出三維能階本徵值公式，並確認基態與第一激發態的量子數組合。接著利用波耳頻率條件（能量守恆） $\Delta E = h\nu$，將能階差轉換為光子頻率，最後代入常數時務必將 $L$ 轉換為公尺，電子質量代入標準 SI 單位進行計算。
📜 參考法條
L = 1 nm
me = 9.11 × 10⁻³¹ (kg)
h = 6.63 × 10⁻³⁴ (J·s)
三維無限位能阱
💡 利用分離變數法求解三維定態薛丁格方程式之波函數與能量。
- 分離變數法：將三維偏微分方程式拆解為三個獨立方向的一維常微分方程式。
- 邊界條件應用：ψ=0 限制位能阱邊緣，導出波數 k = nπ/L，n 為正整數。
- 歸一化：機率密度全空間積分為 1，求得振幅 A = √(8/L³)。
- 完整解含自旋：電子為費米子，波函數須包含空間項與自旋態（Spinor）。
