高考申論題
111年
[核子工程] 微積分與微分方程
第 一 題
📖 題組：
一、(一)求函數 $f(x) = x^2 - 6x + 10$ 在區間[0,5]之最大值及最小值。（10 分）
(二)求冪級數 $\sum_{n=0}^{\infty} ((x-2)^n / (n+1))$ 之收斂半徑及收斂區間。（20 分）
一、(一)求函數 $f(x) = x^2 - 6x + 10$ 在區間[0,5]之最大值及最小值。（10 分）
(二)求冪級數 $\sum_{n=0}^{\infty} ((x-2)^n / (n+1))$ 之收斂半徑及收斂區間。（20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求函數 f(x) = x² - 6x + 10 在區間[0,5]之最大值及最小值。
思路引導 VIP
這題是經典的閉區間連續函數極值問題，應利用「極值定理（Extreme Value Theorem）」求解。首要求出導數尋找區間內的臨界點，再將臨界點與區間兩端點代入原函數比較大小，即可找出最大與最小值。
小題 (二)
求冪級數 $\sum_{n=0}^{\infty} ((x-2)^n / (n+1))$ 之收斂半徑及收斂區間。
思路引導 VIP
求解冪級數收斂區間的標準程序為：首先利用「比值審斂法」（Ratio Test）找出絕對收斂的開區間並決定收斂半徑；接著務必將開區間的「兩個端點」分別代入原級數，利用交錯級數審斂法或 p-級數等方法獨立判斷端點的斂散性，最後合併得出完整的收斂區間。
閉區間極值與冪級數
💡 透過導數求閉區間絕對極值，並利用比值法判定冪級數收斂區間。
🔗 閉區間極值與冪級數判定流程
- 1 微分與找點 — 求一階導數並解 f'(x)=0，篩選區間內臨界點
- 2 極值比較 — 將端點與臨界點代入原函數，取最大與最小值
- 3 比值收斂測試 — 計算級數項比值極限，求出收斂半徑 R
- 4 端點收斂檢驗 — 將 x = c±R 代入原級數，判斷區間之開閉狀態
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🔄 延伸學習：延伸學習：判斷邊界收斂性時常需結合 p-級數或交錯級數審斂法。
