高考申論題
111年
[經建行政] 統計學
第 二 題
假設父親與兒子的身高服從二元常態分配，其中父親的身高（公分）服從期望值為 170、標準差為 10 的常態分配，兒子的身高（公分）服從期望值為 170、變異數為 10 的常態分配，而二者之相關係數為 0.6。考慮父親身高為 175 公分的這群人，試問他們兒子的平均身高為何？其中超過 175 公分之比例為何？（15 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題關鍵在於「二元常態分配 (Bivariate Normal Distribution)」的「條件分配 (Conditional Distribution)」。當已知其中一個變數（父親身高 X）時，另一個變數（兒子身高 Y）的條件分配仍為常態分配。考生需要熟記條件期望值 E(Y|X=x) 與條件變異數 Var(Y|X=x) 的公式。要注意題目給的「標準差」與「變異數」單位陷阱：父親 σ_x = 10，兒子 σ_y² = 10 (則 σ_y = √10)。
二元常態條件分配
💡 利用二元常態條件分配公式，計算給定特定條件下之期望值與機率。
🔗 二元常態條件機率解題三步驟
- 1 參數確認 — 區分X與Y的平均數、變異數與相關係數ρ。
- 2 條件分配建立 — 代入公式求條件期望值與條件變異數。
- 3 標準化求機率 — 利用Z分數標準化並查常態分配表求得比例。
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🔄 延伸學習：延伸學習：條件期望值即為回歸直線方程式 E(Y|X)。
