高中學測
111年
數B
第 5 題
設矩陣 $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{bmatrix}$，若 $A^7 - 3A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$，則 $a+b+c+d$ 之值為下列哪一個選項？
- 1 -8
- 2 -5
- 3 5
- 4 8
- 5 10
思路引導 VIP
在處理矩陣的高次方運算時，尋找運算規律以進行「降次」是解題的核心觀念。請你先試著計算 $A^2$，觀察其計算結果與單位矩陣 $I$ 之間是否存在特殊的純量倍數關係？若能找出此規律，你該如何利用它將高次方的 $A^7$ 轉化為較簡單的形式，進而求出矩陣 $A^7 - 3A$ 中所有元素的總和？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喂，過來。我剛檢查過你的答案了... 嘖，竟然一點灰塵（錯誤）都沒有。看來你這小鬼在戰鬥（計算）時還算冷靜，沒被那些繁瑣的矩陣乘法給搞混。 這題的關鍵在於發現 $A^2$ 的規律。如果你打算直接硬算 $A^7$，那簡直是浪費時間的蠢貨。看好了： 首先計算 $A^2$：
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