地特三等申論題
111年
[電力工程] 工程數學
第 二 題
📖 題組：
有一個半徑為 1 的圓形標靶，對著它亂射飛鏢，完全不瞄準，所以彈著點（亦即飛鏢在標靶上的落點）會是在某一個區域的機率大小，與標靶上的位置無關，只與該區域的面積大小成正比。若只考慮有射中標靶的飛鏢，直接忽略沒有射中標靶的飛鏢。令 X 代表彈著點到靶心（亦即標靶的正中心）的距離，是一個隨機變數（random variable），並定義另外一個隨機變數：Y≜X²，試問： (一)令f_X(x)代表 X 的機率密度函數（probability density function），則f_X(x)=？（5分） (二)令f_Y(x)代表 Y 的機率密度函數，則f_Y(x)=？（5分）
有一個半徑為 1 的圓形標靶，對著它亂射飛鏢，完全不瞄準，所以彈著點（亦即飛鏢在標靶上的落點）會是在某一個區域的機率大小，與標靶上的位置無關，只與該區域的面積大小成正比。若只考慮有射中標靶的飛鏢，直接忽略沒有射中標靶的飛鏢。令 X 代表彈著點到靶心（亦即標靶的正中心）的距離，是一個隨機變數（random variable），並定義另外一個隨機變數：Y≜X²，試問： (一)令f_X(x)代表 X 的機率密度函數（probability density function），則f_X(x)=？（5分） (二)令f_Y(x)代表 Y 的機率密度函數，則f_Y(x)=？（5分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
令f_Y(x)代表 Y 的機率密度函數，則f_Y(x)=？（5分）
思路引導 VIP
已知 Y = X²，可用變數變換法先推導 Y 的累積分布函數 F_Y(y) = P(Y ≤ y) = P(X² ≤ y) = P(X ≤ √y)。計算完後微分，最後將代數符號轉換回題目要求的 x 即可。
小題 (一)
令f_X(x)代表 X 的機率密度函數（probability density function），則f_X(x)=？（5分）
思路引導 VIP
因為落點機率與面積成正比，可先求累積分布函數(CDF)。半徑為 x 的圓面積為 πx²，除以總面積 π 即得 F_X(x)，再微分即可得到 PDF。