調查局三等申論題
111年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
五、我們考慮一個複變函數f(z) = cos(z)/z⁵，已知其羅倫特展開式(Laurent expansion)為：（每小題 5 分，共 20 分） Σ(n=0 to ∞) (-1)ⁿ / (2n)! ⋅ z^{2n-5} = 1/z⁵ - 1/2 ⋅ 1/z³ + 1/24 ⋅ 1/z - 1/720 ⋅ z + 1/40320 ⋅ z³ - ⋯
五、我們考慮一個複變函數f(z) = cos(z)/z⁵，已知其羅倫特展開式(Laurent expansion)為：（每小題 5 分，共 20 分） Σ(n=0 to ∞) (-1)ⁿ / (2n)! ⋅ z^{2n-5} = 1/z⁵ - 1/2 ⋅ 1/z³ + 1/24 ⋅ 1/z - 1/720 ⋅ z + 1/40320 ⋅ z³ - ⋯
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
當我們試圖將f(z)以題中所示之羅倫特展開式展開時，其實有某一些（或是某一個）複數平面上的點必須加以排除，請問是那一些？
思路引導 VIP
考生看到此題應立刻聯想到複變函數的「奇異點(Singularity)」與「解析性(Analyticity)」。透過觀察給定函數的分母，找出使其無法定義（發散）的點，並結合羅倫特級數在環形區域收斂的特性，即可確認必須排除的點。
小題 (二)
我們將f(i)寫成f(i) = α + i ⋅ β (i = √-1)，那麼α =？β =？
思路引導 VIP
考生看到此題應立刻聯想到兩種解法：一是直接將 z=i 代入原函數，利用歐拉公式求 cos(i) 的值；二是將 z=i 代入題幹提供的羅倫特級數展開式，利用 i 的冪次規律化簡求和。兩種方法皆會用到雙曲函數（cosh）的定義與級數形式。
小題 (三)
如果我們用C來表示在複數平面上的單位圓（也就是x² + y² = 1）上面以逆時針方向從z = 1開始繞一圈走回原出發點，那麼∫_C f(z)dz =？
思路引導 VIP
看到「封閉曲線積分」配合「羅倫特展開式」，應立即聯想使用「柯西留數定理（Cauchy's Residue Theorem）」。只要找出奇異點是否在路徑內，並在展開式中提取 1/z 項的係數（即留數），代入 2πi × 留數 即可迅速解題。
小題 (四)
如果我們用K來表示在複數平面上以(x - 1)² + (y - 1)² = 1所描述的圓上面以逆時針方向從z = 1開始繞一圈走回原出發點，那麼∫_K f(z)dz =？
思路引導 VIP
看到複變函數封閉路徑積分，第一步務必先找出函數的奇異點，第二步判斷該奇異點是否落於積分路徑所包圍的區域內。本題給出羅倫特展開式極易誘使考生直接抓取留數計算，但務必先確認奇異點與路徑的幾何關係，再決定使用柯西積分定理或留數定理。