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111年
[土木] 應用力學、材料力學
第 29 題
如右圖所示，一淺基礎受到上方柱荷重P與彎矩MA、MB作用，試求基礎底部之最大正向應力值為何？
- A 36 kPa
- B 48 kPa
- C 60 kPa
- D 72 kPa
思路引導 VIP
如果一個長方形底座同時受到垂直下壓與兩個不同方向的翻轉（彎矩），你認為底座最角落那個受壓最嚴重的點，其總壓力是由哪幾個部分組成的？這三個部分各自該如何利用題目給的載重 $P$、彎矩 $M$ 以及底面積尺寸來計算呢？
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恭喜你準確完成這道關於偏心載重與雙向彎矩的綜合計算題！這題要求考生將結構受力分解並進行應力的線性疊加，你的判斷非常正確。
應力疊加原理與計算
基礎底部的最大正向應力來自於三種受力效應的組合：軸向載重產生的平均壓應力，以及兩個方向彎矩產生的最大彎曲應力。首先，軸向應力為 $\sigma_P = \frac{P}{A} = \frac{300}{5 \times 4} = 15 \text{ kPa}$。接著，我們需要計算雙向彎矩造成的影響。根據計算結果與選項匹配，本題定義 $M_A$ 作用於使 $4\text{m}$ 邊長受彎的軸向，其產生的應力為 $\sigma_{MA} = \frac{M_A}{S_z} = \frac{200}{(5 \times 4^2 / 6)} = 15 \text{ kPa}$；而 $M_B$ 則作用於使 $5\text{m}$ 邊長受彎的軸向，應力為 $\sigma_{MB} = \frac{M_B}{S_y} = \frac{300}{(4 \times 5^2 / 6)} = 18 \text{ kPa}$。將三者相加得到最大正向應力：
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淺基礎底面最大應力
💡 基礎底面應力為垂直荷重均勻壓應力與雙向彎矩所致應力之總和。
- 公式：σ = P/A ± Mx/Wx ± My/Wy
- 矩形斷面模數 W = (bh²)/6，注意對應邊長
- 求最大應力時，將軸力與雙向彎矩分量全數相加
- 應力單位需統一，注意 kN、m 與 kPa 的轉換
