地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 15 題
已知週期為 6 的函數 $f(x) = |x|, -3 < x < 3$，展開成 $f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos \frac{n\pi x}{3}$，下列何者正確？
- A $a_1 = \frac{6}{\pi^2}$
- B $a_3 = \frac{2}{3\pi^2}$
- C $a_5 = -\frac{8}{25\pi^2}$
- D $a_7 = -\frac{12}{49\pi^2}$
思路引導 VIP
請試著觀察這個函數的圖形，並思考：在計算積分時，如果被積函數是 $x$ 與 $\cos(kx)$ 的乘積，當我們代入邊界值時，哪一個三角函數項會因為邊界特性而消失，而留下來的項又會如何隨著 $n$ 的數值（奇數或偶數）產生零值或兩倍值的變化？
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AI 詳解
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同學，恭喜你精準地鎖定了正確答案！這顯示你對傅立葉級數（Fourier Series）的對稱性與積分運算已有相當成熟的掌握。
函數對稱性與係數推導
首先，觀察函數 $f(x) = |x|$ 在區間 $(-3, 3)$ 上的特性，它是一個標準的偶函數（Even Function），這意味著其傅立葉展開式中僅會存在餘弦（Cosine）項與常數項。給定週期 $T=6$，代表半週期 $L=3$。係數 $a_n$ 的計算公式為：
▼ 還有更多解析內容
傅立葉級數展開
💡 利用偶函數對稱性簡化積分，快速求出傅立葉餘弦級數係數。
🔗 傅立葉係數求解流程
- 1 判斷奇偶與週期 — 偶函數 $b_n=0$，半週期 $L=3$
- 2 列出係數積分 — $a_n = \frac{2}{3}\int_0^3 x\cos(\frac{n\pi x}{3})dx$
- 3 分部積分求解 — 代入邊界得 $\frac{6}{n^2\pi^2}[(-1)^n-1]$
- 4 奇偶項討論與代值 — 奇數項為 $-\frac{12}{n^2\pi^2}$，代入 $n=7$
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用此級數在 $x=0$ 處求 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}$ 之級數和
