普考申論題
112年
[天文] 微積分
第 二 題
📖 題組：
四、(一)求 $\int_0^2 xe^{2x}\, dx$ 之值。（15分）
(二)求重積分 $\int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \sqrt{x^2 + y^2}\, dy\, dx$ 之值。（15分）
四、(一)求 $\int_0^2 xe^{2x}\, dx$ 之值。（15分）
(二)求重積分 $\int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \sqrt{x^2 + y^2}\, dy\, dx$ 之值。（15分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
求重積分 ∫₀¹ ∫₀$^{√(1-x²)}$ √(x² + y²) dy dx 之值。（15分）
思路引導 VIP
觀察被積函數 $\sqrt{x^2+y^2}$ 以及積分上限 $y=\sqrt{1-x^2}$（暗示圓方程式 $x^2+y^2=1$），應立刻聯想到使用「極坐標轉換」來化簡。解題關鍵在於正確還原積分區域（第一象限的四分之一圓），找出對應的極角 $\theta$ 與極徑 $r$ 範圍，並務必記得面積元素轉換時需乘上雅可比（Jacobian）行列式因子 $r$。
小題 (一)
求 ∫₀² $xe^{2x}$ dx 之值。（15分）
思路引導 VIP
觀察被積函數為多項式函數 $x$ 與指數函數 $e^{2x}$ 的乘積，首選『分部積分法』。設定 $u=x$ 以透過微分降階，$dv=e^{2x}dx$ 進行積分，求出不定積分後再代入上下限即可得解。
重積分極坐標轉換
💡 利用極坐標轉換簡化具有圓形區域特徵之重積分運算。
🔗 極坐標重積分計算流程
- 1 區域分析 — 依 dxdy 範圍繪圖，識別是否為圓形區域。
- 2 變數轉換 — 將 x^2+y^2 換為 r^2，並決定 r 與 θ 範圍。
- 3 元素修正 — 置換面積元素為 r dr dθ，此處 r 不可遺漏。
- 4 逐層積分 — 先對內層 r 積分，再對外層 θ 積分求出數值。
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🔄 延伸學習：延伸學習：當積分區域具有橢圓或對稱特徵時，可使用廣義極坐標變換。
