地特三等申論題
112年
[機械工程] 自動控制
第 一 題
📖 題組：
如圖所示，質量塊 M1 置於 M2 上方，其間具有係數為 D1 的阻尼效應，外力 F 經由一彈簧（係數 K1）拉動 M1，M1 另一端與牆壁間透過彈簧 K2 連接，M2 與牆壁則由一阻尼器 D2 連接。兩物體位移量 (x1, x2) 之座標定義分別如圖所示。
如圖所示，質量塊 M1 置於 M2 上方，其間具有係數為 D1 的阻尼效應，外力 F 經由一彈簧（係數 K1）拉動 M1，M1 另一端與牆壁間透過彈簧 K2 連接，M2 與牆壁則由一阻尼器 D2 連接。兩物體位移量 (x1, x2) 之座標定義分別如圖所示。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請推導以 F 為輸入、 x1 為輸出的轉移函數 x1(s)/F(s)，並說明改變彈簧 K1 的值是否會影響此轉移函數的極零點位置。（15 分）
思路引導 VIP
面對雙質量機電系統，首先應用牛頓第二運動定律，分別對質量塊 M1、M2 繪製自由體圖並列出時域微分方程式。接著需敏銳觀察外力 F 的作用方式：因彈簧 K1 無質量，外力會無耗損地傳遞至 M1，故 K1 不會影響 M1 的受力大小。最後將微分方程式取拉氏轉換並消去 X2(s)，即可求得轉移函數並解釋極零點不受 K1 影響的原因。
小題 (二)
若考慮 D1 可能趨近於零或無限大，分別寫出此系統在兩種極端條件下（ D1=0 與 D1 -> inf）時，簡化的等效轉移函數。（10 分）
思路引導 VIP
遇到機電系統建模題，首要步驟是利用牛頓第二定律列出各質量塊的時域微分方程式。接著針對題目給定的極端條件進行物理直觀簡化（D1=0 代表無摩擦解耦，M2 靜止；D1→∞ 代表剛性連接，M1 與 M2 結合為單一剛體），最後再進行拉氏轉換求得等效轉移函數。
機械系統轉移函數推導
💡 運用牛頓運動定律建立時域方程，經拉氏轉換求取輸入輸出比值。
🔗 機械系統建模與求解流程
- 1 自由體圖分析 — 對 M1、M2 進行受力分析，標出彈簧力與阻尼力。
- 2 建立運動方程式 — 依牛頓第二定律 ΣF=ma 寫出聯立微分方程。
- 3 拉普拉斯轉換 — 將時域方程轉為 s 域，簡化代數運算。
- 4 求轉移函數 — 消去變數 X2，整理出 X1(s)/F(s) 之比值。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若改用狀態空間表示法，可更直觀分析多輸入多輸出系統。
