地特三等申論題
110年
[機械工程] 自動控制
第 一 題
📖 題組：
飛機的爬升一般是由機翼（wing）與升降舵（elevator）所分別產生的力 LW 與 LE 所造成的。而除了產生高度的變化以外，同時亦會使得飛機攻角（angle of attack）α 隨之改變。假設升降舵與機身的夾角為 E，且在兩個角度 α 與 E 都很小的狀況下，可透過線性化將飛機的高度與攻角動態模式簡化成：
ḧ = k1α - k2(E - α)
ä = k3(E - α) - k4α̇
上式中，所有系統參數 k1、k2、k3 與 k4 均為正實數。
飛機的爬升一般是由機翼（wing）與升降舵（elevator）所分別產生的力 LW 與 LE 所造成的。而除了產生高度的變化以外，同時亦會使得飛機攻角（angle of attack）α 隨之改變。假設升降舵與機身的夾角為 E，且在兩個角度 α 與 E 都很小的狀況下，可透過線性化將飛機的高度與攻角動態模式簡化成：
ḧ = k1α - k2(E - α)
ä = k3(E - α) - k4α̇
上式中，所有系統參數 k1、k2、k3 與 k4 均為正實數。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
推導出輸出為攻角 α 與輸入為 E 以及輸出為高度 h 與輸入為 E 之轉移函數（transfer function）。（15 分）
思路引導 VIP
看到建立轉移函數的題目，首要步驟是假設所有初始條件為零，對給定的時域微分方程式進行拉氏轉換（Laplace Transform）。接著利用代數運算，先由單純的攻角方程式求得 α(s)/E(s)，再將結果代入高度方程式中，即可順利求出 H(s)/E(s)。
小題 (二)
假設升降舵與機身的夾角 E 給定一單位步階（unit step）函數，已知 α(0) = h(0) = 0，求解 α(∞)、ḧ(∞) 與 ḧ(0)。（15 分）
思路引導 VIP
面對這類機電物理系統動態題，首要是對微分方程式進行拉氏轉換並求出感興趣變數（如 α(s)）的轉移函數。求解穩態響應（t→∞）前，務必先檢驗特徵方程式的根以確認系統穩定性，才能合法使用終值定理；求解初始響應（t→0）則可透過初值定理或直接代入時間函數的初始條件。
線性系統轉移函數推導
💡 利用拉氏轉換將時域微分方程化為頻域代數比值
🔗 轉移函數推導標準程序
- 1 Laplace轉換 — 將時域方程變更為含 s 的代數式
- 2 項次整理 — 將含有相同輸出變數的項集中提取公因式
- 3 代數消去 — 若有多變數，透過聯立代換消去非目標變數
- 4 得出比值 — 化簡為標準有理分式形式（輸出/輸入）
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🔄 延伸學習：延伸學習：分析轉移函數之極點（Pole）位置以判定飛機動態穩定性
