高考申論題
109年
[機械工程] 自動控制
第 二 題
📖 題組：
以馬達驅動一個半徑為R的滑輪，馬達轉子與滑輪的合併慣量為J，電梯軸承的線性阻尼係數為B，電梯此時的質量為M。
(一)請推導電梯從馬達出力 τ 到電梯位置y之間的動態方程式。（10分）
(二)請推導電梯從馬達扭力T(s)到電梯位置Y(s)之間的轉移函數（transfer function）。（10分）
以馬達驅動一個半徑為R的滑輪，馬達轉子與滑輪的合併慣量為J，電梯軸承的線性阻尼係數為B，電梯此時的質量為M。
(一)請推導電梯從馬達出力 τ 到電梯位置y之間的動態方程式。（10分）
(二)請推導電梯從馬達扭力T(s)到電梯位置Y(s)之間的轉移函數（transfer function）。（10分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
請推導電梯從馬達扭力T(s)到電梯位置Y(s)之間的轉移函數（transfer function）。（10分）
思路引導 VIP
本題建立在第一小題的動態方程式之上。轉移函數的定義是「在所有初始條件為零的假設下，系統輸出拉氏轉換與輸入拉氏轉換的比值」。需注意的是，對於線性非時變系統求轉移函數時，常數干擾項（如重力）會視為在工作點(operating point)展開而予以忽略（因為它不影響動態變動量）。直接將微積分方程式轉換為 $s$ 域，然後求取比值即可。
小題 (一)
請推導電梯從馬達出力 τ 到電梯位置y之間的動態方程式。（10分）
思路引導 VIP
這是一個典型的機電/機械系統建模題，結合了旋轉運動與平移運動。解題第一步是畫出自由體圖(FBD)，定義座標方向。接著，分別針對旋轉部分(馬達與滑輪)和平移部分(電梯質量)寫出牛頓第二運動定律的方程式。必須注意到結合兩者的關鍵是「繩索張力」以及運動學的連動關係（角加速度與直線加速度的轉換）。最後透過代數運算消去未知的張力變數，整理成只含輸入(扭力)與輸出(位移)的單一微分方程式。
電梯系統轉移函數推導
💡 透過拉氏轉換將線性化時域方程轉換為頻域傳遞關係。
🔗 轉移函數推導標準程序
- 1 物理建模 — 依牛頓定律建立時域微分方程式
- 2 線性化處理 — 扣除重力等靜態常數項之干擾
- 3 拉氏轉換 — 設定初始值為零並轉換至 s 域
- 4 代數整理 — 求取輸出與輸入之拉氏轉換比值
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🔄 延伸學習：延伸學習：分析所得之轉移函數階數與型態，以判斷系統穩定性。
