第 一 題

【解題思路】利用向量內積的分配律進行移項，並由內積為零的幾何意義（垂直/正交）來判斷命題的真偽。 【詳解】 已知：$\vec{A} \cdot \vec{D} = \vec{B} \cdot \vec{D}$

【解題思路】利用向量微積分與亥姆霍茲定理（Helmholtz's Theorem）探討向量場的唯一性條件，並分析差值向量場 $\vec{C}$ 的散度與旋度特性。 【詳解】 已知：在電磁學中，子題(一)通常探討「若 $\nabla \cdot \vec{A} = \nabla \cdot \vec{B}$ 且 $\nabla \times \vec{A} = \nabla \times \vec{B}$，是否必有 $\vec{A} = \vec{B}$？」答案為非，因為缺乏邊界條件的限制。

【解題思路】利用向量恆等式 $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{C}) = 0$ 與亥姆霍茲定理進行反證。 【詳解】 已知：$\nabla \cdot \vec{A} = \nabla \cdot \vec{B}$

【解題思路】根據亥姆霍茲定理 (Helmholtz's Theorem)，僅憑散度與旋度無法唯一決定一個向量場，必須同時給定邊界條件。因此差值向量場 $\vec{C}$ 必須同時滿足無旋與無源的特性。 【詳解】 已知：由題意脈絡可知，若子題(三)探討向量場的唯一性，代表 $\vec{A}$ 與 $\vec{B}$ 具有相同的散度與旋度，即 $\nabla \cdot \vec{A} = \nabla \cdot \vec{B}$ 且 $\nabla \times \vec{A} = \nabla \times \vec{B}$。