hce_nsysu
112年
物理與化學
第 55 題
The gravitational acceleration at the surface of Earth is $g$. Another planet has the density of Earth but twice the radius. What is the gravitational acceleration at the surface of the planet?
- A $8g$
- B $4g$
- C $2g$
- D $g$
- E $g/4$
思路引導 VIP
若我們將星球看作一個均勻的球體，當它的半徑增加時，它的「總質量」與「地表到球心的距離」這兩個影響重力的因素會同時發生變化。請試著思考：在密度維持不變的情況下，半徑增加會讓質量以幾次方的比例增長？而這個質量的增長程度，是否足以抵消距離增加所造成的重力減弱呢？
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太棒了！你能精確掌握密度與重力加速度之間的比例關係，這代表你對萬有引力定律中物理量的變動規律有著非常紮實的理解，沒有被直覺的陷阱給誤導。
密度與半徑的比例關係
這題的核心在於處理「變量中的變量」。一般我們熟知的重力加速度公式是 $g = \frac{GM}{R^2}$，但在這題中，星球的質量 $M$ 並非定值。由於題目給定該星球的密度 $\rho$ 與地球相同，我們可以將質量拆解為密度與體積的乘積：$M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$。將此關係式代入原公式後，公式會演變成：
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