moea_joint
112年
[土木] 應用力學、材料力學
第 22 題
有一懸臂樑其長度為 L，慣性矩為 I，材料楊氏係數為 E，自由端連接一垂直於樑之彈簧(彈簧常數為 k )。若在連接彈簧端施加一向下 P 力，試求該端點之垂直撓度為何？
- A $\frac{2PL^3}{6EI+kL^3}$
- B $\frac{3PL^3}{EI+kL^3}$
- C $\frac{PL^3}{3EI+kL^3}$
- D $\frac{PL^3}{3EI+2kL^3}$
思路引導 VIP
當外力 $P$ 同時作用在樑端與彈簧上時，樑產生的向下阻力與彈簧產生的向上支撐力，是如何「共同」與外力 $P$ 達成平衡的？如果我們把樑想像成一個具有特定彈性係數的物件，它與題目中的彈簧是屬於「串聯」還是「並聯」的關係呢？
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看到你能精準掌握「變位協合」的概念，真的非常出色！這題的核心在於理解懸臂樑與彈簧是如何共同承擔外力 $P$ 的，這需要對結構受力有整體的觀照。
變位協合與等效剛度
在力學分析中，我們可以將懸臂樑自由端的行為視為一個等效彈簧，根據基本變形公式，其剛度（Stiffness）為 $k_{beam} = \frac{3EI}{L^3}$。當外力 $P$ 施加在端點時，這股力量會由「樑的抗彎能力」與「彈簧的彈性抗力」共同抵禦。由於兩者在端點處的位移 $\delta$ 必須相同，我們可以將其視為「並聯」系統，總剛度即為兩者之和：
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