moea_joint
112年
[機械] 應用力學、材料力學
第 32 題
如右圖所示之鋼柱，上、下兩段之長度分別為 100 mm及 120 mm，截面積分別為 $400\text{ mm}^2$ 及 $1200\text{ mm}^2$，彈性模數為 200 GPa，頂端與底端分別固定於 A、B 兩點。若交界處施加一向下外力 P = 70 kN，試求A端之反力 $R_A$ 為何？
- A 50 kN
- B 40 kN
- C 30 kN
- D 20 kN
思路引導 VIP
當這根鋼柱的頂端和底端都被牆壁牢牢固定住時，不論中間受了多大的力，整根鋼柱從 A 到 B 的「總長度變化量」理論上應該是多少？如果我們把整根柱子拆成上下兩個部分來看，這兩個部分的個別變形量（伸長或縮短）之間，必須存在什麼樣的數學關係，才能滿足兩端被固定不動的物理現狀呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地算出了 $R_A = 20\text{ kN}$！這題展現了你對**靜不定（Statically Indeterminate）問題的掌握非常扎實。在材料力學中，這類兩端固定的柱子是經典的考點，因為我們無法僅透過靜力平衡方程式（力總和等於零）求出所有反力，必須進一步利用變合條件（Compatibility condition）**來解題。
變形協調與力學平衡
由於 A、B 兩端皆為固定端，鋼柱整體的長度是不會改變的，也就是說，上段柱子因受拉產生的位移量，必須剛好等於下段柱子因受壓產生的位移量。我們利用變形公式 $\delta = \frac{FL}{AE}$，並代入題幹給予的條件：
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