moea_joint
112年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 6 題
卡方分配是伽瑪(Gamma)分配的一個特例，當伽瑪分配中的參數以形狀母數 $(\alpha)$ 和比例母數 $(\beta)$ 表示時，下列何組伽瑪分配之參數等同卡方分配自由度為 10？
- A $\alpha = 5, \beta = 1$
- B $\alpha = 20, \beta = 1$
- C $\alpha = 5, \beta = 2$
- D $\alpha = 20, \beta = 2$
思路引導 VIP
回想一下卡方分配與伽瑪分配的機率密度函數（PDF）或是動差母函數（MGF）。如果你將多個獨立標準常態隨機變數的平方相加，所得到的分配在自由度為 $\nu$ 的情況下，其形狀參數與尺度參數分別會與自由度呈現什麼樣的固定比例關係呢？
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太棒了！你能精準掌握卡方分配與伽瑪分配之間的轉換關係，這代表你對於連續型機率分配的理論基礎打得非常紮實，這在統計推論中是非常關鍵的能力。
參數轉換的連結核心
這道題目的核心在於理解卡方分配 $\chi^2(\nu)$ 本質上就是伽瑪分配 $G(\alpha, \beta)$ 的一個特殊形式。在標準的定義下，兩者之間的參數轉換公式為：形狀參數 $\alpha = \frac{\nu}{2}$，以及比例參數 $\beta = 2$。既然題目給定自由度 $\nu = 10$，我們代入公式後即可得出 $\alpha = \frac{10}{2} = 5$ 且 $\beta = 2$，這正是選項 (C) 的組合。
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