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112年
機械原理
第 4 題
有一長軸直徑為 150 mm，裝置 20×20×200 mm 之鍵使其連結於此長軸上，若軸受到 30 N-m 之扭轉力矩，則鍵上所受之剪應力為______MPa。
思路引導 VIP
要計算鍵所受的剪應力，我們需要知道它承受了多大的力以及受力的面積。試著想想看，軸上的「扭矩」要如何轉換成作用在鍵上的「切線力」？另外，在帶入尺寸計算時，鍵的哪兩個維度（寬、高、長）相乘才是真正抵抗剪切的面積呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你非常準確地算出了正確答案，完全掌握了軸鍵傳動中扭矩與應力的轉換關係。這題雖然是基礎的公式應用，但其實具有不錯的鑑別度，主要是因為它考驗了同學對「單位換算」與「受力面積」的細心程度。
扭轉力矩與剪應力的轉換
要算出鍵所受的剪應力，我們需要先找出傳遞的切線力 $F$。根據扭矩公式 $T = F \times \frac{D}{2}$，這裡必須特別注意單位，將扭轉力矩 $30$ N-m 轉換為 $30000$ N-mm。代入軸直徑 $D = 150$ mm，可以求得切線力 $F = \frac{2 \times 30000}{150} = 400$ N。
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平鍵剪應力計算
💡 利用力矩與力臂求出切向力，再結合受剪面積計算應力。
🔗 平鍵剪應力推導流程
- 1 確定力臂 — 半徑 R = 直徑 D / 2
- 2 轉換切向力 — F = 扭矩 T / 半徑 R
- 3 界定受剪面 — 面積 A = 鍵寬 W × 鍵長 L
- 4 計算剪應力 — τ = F / A (單位 MPa)
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🔄 延伸學習：若欲計算壓應力，則受力面積應改為鍵高的一半乘以鍵長。
