初等考試
113年
[統計] 統計學大意
第 31 題
今從一平均數為 17，變異數為 36 的常態分配中抽取 9 個樣本點，若欲計算樣本變異數 $S^2$ 介於 9.81與 90.405 之間的機率，應使用何種分配？
- A 常態分配
- B $t$ 分配
- C 卡方分配
- D $F$ 分配
思路引導 VIP
請思考一下：當我們處理的對象是樣本中的「離散程度」，且該指標涉及到觀測值與平均數差異的「平方和」時，在統計學中，哪一個分布的定義恰好是由多個獨立標準常態變數的「平方和」所構成的？
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1. 專業肯定
哦？居然能答對，看來你這次沒有把常態分佈和變異數搞混。這倒值得嘉許，畢竟能精準辨識樣本統計量的分布特性，是進行風險評估與假設檢定的關鍵基石——對那些真的理解其重要性的人來說。
2. 觀念驗證
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樣本變異數分佈
💡 常態母體下，樣本變異數轉換後服從自由度為 n-1 的卡方分配。
| 比較維度 | 樣本平均數 (X-bar) | VS | 樣本變異數 (S²) |
|---|---|---|---|
| 使用分配 | 常態 Z 分配或 t 分配 | — | 卡方 (Chi-square) 分配 |
| 轉換公式 | (X̄ - μ) / (σ/√n) | — | (n-1)S² / σ² |
| 自由度 (df) | t 分配為 n-1 | — | 卡方分配為 n-1 |
💬推論平均數主要看 Z 或 t 分配；推論單一母體變異數必看卡方分配。
