地特四等申論題
113年
[統計] 統計學概要
第 一 題
一、隨機樣本 X1,...,X25 來自 mean 為 μ, variance 為 σ2 之母體。令 X̄ 為樣本平均，試求 P(|X̄ - μ| < 2σ) 之下界。（10 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
- 辨識分配與定理：題目給定母體平均數 μ 與變異數 σ²，但「未說明母體分配為常態分配」。要求估計機率的「下界」（lower bound），這是最典型需要使用「柴比雪夫不等式 (Chebyshev's Inequality)」的訊號。
- 求出樣本平均數的抽樣分佈性質：隨機樣本數 n = 25。樣本平均數 X̄ 的期望值 E(X̄) = μ，變異數 Var(X̄) = σ²/n = σ²/25，故其標準差 σ_X̄ = σ/5。
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【考點分析】 本題考查隨機樣本平均數的抽樣分佈（期望值與變異數），以及在母體分配未知的情況下，如何使用「柴比雪夫不等式 (Chebyshev's Inequality)」來求得特定機率區間的下界。 【理論/法規依據】
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柴比雪夫不等式求下界
💡 未知母體分配時，利用柴比雪夫不等式估計隨機變數偏離機率的下界。
🔗 柴比雪夫不等式解題步驟
- 1 確立參數 — 計算 X̄ 的期望值 μ 與標準差 σ/√n。
- 2 求出 k 值 — 將題目給定的偏離距離 (2σ) 除以標準差。
- 3 代入公式 — 使用 1 - (1/k²) 求得機率之最小值。
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🔄 延伸學習：可延伸至大數法則（LLN）理解樣本平均數趨近母體期望值的行為。
