地特四等申論題
113年
[統計] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
三、為調查民眾對某政策的支持比例 p，隨機抽取有效樣本 1,600 人。未回答支持者，視為不支持。 (一) 欲檢驗「虛無假說：支持某政策的比例不低於 50%」，則樣本中不支持該政策的人數至少要多少才能在 α=0.05 之顯著水準下拒絕虛無假說？（請先建立假說）（15 分） (二) 在信心水準 95%下，對 p 之估計的誤差為正負多少%？（10 分）
三、為調查民眾對某政策的支持比例 p，隨機抽取有效樣本 1,600 人。未回答支持者，視為不支持。 (一) 欲檢驗「虛無假說：支持某政策的比例不低於 50%」，則樣本中不支持該政策的人數至少要多少才能在 α=0.05 之顯著水準下拒絕虛無假說？（請先建立假說）（15 分） (二) 在信心水準 95%下，對 p 之估計的誤差為正負多少%？（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
欲檢驗「虛無假說：支持某政策的比例不低於 50%」，則樣本中不支持該政策的人數至少要多少才能在 α=0.05 之顯著水準下拒絕虛無假說？（請先建立假說）（15 分）
思路引導 VIP
- 建立假說：「比例不低於 50%」意即 $p \ge 0.5$。因為包含等號，應設為虛無假說。對立假說則是 $p < 0.5$（此為左尾檢定）。
- 決定檢定統計量與分配：由於樣本數 $n = 1600$ 極大，符合常態近似法條件。使用檢定統計量 $Z = (\hat{p} - p_0) / \sqrt{p_0(1-p_0)/n}$。
小題 (二)
在信心水準 95%下，對 p 之估計的誤差為正負多少%？（10 分）
思路引導 VIP
- 理解「估計的誤差」之定義：即為信賴區間的「邊際誤差（Margin of Error, ME）」，計算公式為 $ME = z_{\alpha/2} * \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$。
- 決定估計比率 $\hat{p}$ 的代入值：由於本題並未給出實際調查得到的樣本支持率，因此為了求得一個「最安全、最保守（亦即最大可能）」的抽樣誤差，實務上會令 $\hat{p} = 0.5$（當 $p = 0.5$ 時，$p(1-p)$ 達到最大值 0.25）。