普考申論題
113年
[地震測報] 地球物理數學概要
第 三 題
三、若地溫分布為 T(x, y, z) = e^2z (sin x + cos y)，在原點(0, 0, 0)地熱溫度變化最快的方向與變化率為何？（15 分）
📝 此題為申論題
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看到求空間中純量場（如溫度分布）「變化最快的方向」與「最大變化率」，應立即聯想到計算該函數的「梯度（Gradient）」。梯度向量所在的方向即為函數值最大增長的方向，而該向量的長度（Norm/Magnitude）就是最大變化率的值。
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【解題關鍵】利用多變數函數的「梯度（Gradient）」特性：函數在給定點的梯度向量方向即為數值增加（變化）最快的方向，且該梯度向量的長度（大小）即為最大的變化率。 【解答】 計算：
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梯度與最大變化率
💡 函數在某點的梯度向量即為數值增加最快方向，其長度為最大變化率。
🔗 求最大變化率三步驟
- 1 偏微建構 — 對各變數求偏導，組成梯度向量場 ∇T。
- 2 座標代入 — 將特定點代入 ∇T，求出該點特定方向向量。
- 3 量值計算 — 計算向量長度 |∇T|，即得最大變化率。
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🔄 延伸學習：延伸學習：若題目要求「減少最快」，則方向為負梯度向量 -∇T。
