第 一 題

這是一道送分題，考查正規化平均功率的計算。看到正弦/餘弦訊號 m(t) = A cos(ωt)，應該直覺反射其功率公式為 P = (A^2) / 2。只需找出振幅 A 並代入即可。

題目要求「正規化」，其目的是將訊號的最大值和最小值限制在特定範圍（此處要求最小值為 -1）。分析原訊號 m(t) = 4 cos(20πt)，cos 函數的值域介於 -1 到 1 之間，所以 m(t) 的範圍是 -4 到 4。為了讓最小值從 -4 變成 -1，我們必須將整個訊號除以 4（即原訊號的最大絕對值）。

考點進入振幅調變（AM, Amplitude Modulation）的標準數學式。首先要釐清名詞：「未調變訊號」指的是載波（Carrier），即 c(t) = 100 cos(200πt)，載波振幅 Ac = 100，載波頻率 fc = 100 Hz。「傳遞此訊號」的「此訊號」指的是前面的訊息訊號 m(t)。標準的 AM 調變式為 s(t) = Ac [1 + μ·m_n(t)] cos(2πfc t)，其中 μ 是調變指數。將題目給的 μ = 0.5 和上一題求得的正規化訊息 m_n(t) 代入即可。

本題測驗 AM 訊號的頻譜展開。需要將第(三)題求得的 s(t) 展開成單純的餘弦函數相加（利用三角恆等式：cosA cosB = 1/2 [cos(A+B) + cos(A-B)]）。展開後會得到三個頻率成分：載波 (fc)、上旁帶 (fc+fm)、下旁帶 (fc-fm)。接著對這三個餘弦波分別做傅立葉轉換，轉換為頻域上的狄拉克 delta 函數（脈衝）。