高考申論題
113年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 二 題
📖 題組：
令 $A=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$，回答以下兩小題：
令 $A=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$，回答以下兩小題：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
求 $\begin{pmatrix} x'(t) \ y'(t) \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \end{pmatrix}$ 的一般解（general solutions），並證明此一般解 $\begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \end{pmatrix}$ 滿足 $\lim_{t \to \infty} x(t) = \lim_{t \to \infty} y(t) = 0$。（15 分）
思路引導 VIP
面對一階常係數齊次線性微分方程組，首要步驟是求出係數矩陣 A 的特徵值與對應的特徵向量，以此建構系統的一般解。接著，利用求出之解（包含指數函數）的性質，透過極限運算證明當時間趨於無限大時，由於特徵值皆為負數產生指數衰減，變數將必然收斂至零。
小題 (一)
求 P 使得 $P^{-1}AP$ = D，其中 D 為一對角矩陣（diagonal matrix）。（10 分）
思路引導 VIP
看到求可逆矩陣 P 使得 P^{-1}AP 為對角矩陣，即為標準的「矩陣對角化」問題。解題思路為：先解特徵方程式求出特徵值（Eigenvalues），接著分別求出對應的特徵向量（Eigenvectors），最後將特徵向量作為行向量組成矩陣 P 即可。
一階線性微分方程組
💡 利用矩陣特徵值與特徵向量構造聯立線性 ODE 的通解。
🔗 線性微分方程組求解與極限證明流程
- 1 特徵值計算 — 由行列式 det(A-λI)=0 求出特徵根 λ1, λ2。
- 2 特徵向量求解 — 將 λ 代回 (A-λI)v=0 找出非零基礎解向量。
- 3 構造一般解 — 組合 c1*e^(λ1t)v1 + c2*e^(λ2t)v2。
- 4 漸近行為分析 — 觀察 λ 符號，若 λ < 0 則 e^(λt) 隨時間增加趨近於 0。
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🔄 延伸學習：延伸學習：當特徵值為重根或虛根時，解的型態與穩定性判斷方法。
