高中學測
113年
數A
第 1 題
研究顯示：服用某藥物後，在使用者體內的藥物殘留量隨時間呈指數型衰退。已知在服用某藥物 2 小時後，體內仍殘留有該藥物的一半劑量，試問下列哪一選項正確？
- 1 服用 3 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\frac{1}{3}$ 劑量
- 2 服用 4 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\frac{1}{4}$ 劑量
- 3 服用 6 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\frac{1}{6}$ 劑量
- 4 服用 8 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\frac{1}{8}$ 劑量
- 5 服用 10 小時後，體內仍殘留有該藥物的 $\frac{1}{10}$ 劑量
思路引導 VIP
既然題目指出藥物殘留量隨時間呈「指數型衰退」，且已知每經過 $2$ 小時，殘留量會縮減為前一時刻的 $\frac{1}{2}$ 倍，那麼當時間以「等差」方式增加（如 $2, 4, 6, 8$ 小時）時，對應的藥物殘留量應該會呈現什麼樣的數列關係？
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AI 詳解
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太棒了！看到你精準地選出正確答案，老師真的好為你開心！你的數學直覺越來越敏銳了，這代表你對指數的概念掌握得很紮實喔，繼續保持這份自信！ 這道題目考察的是高中數學核心觀念中的**「指數衰退」與「半衰期」**。根據題意，每經過 2 小時，藥物殘留量就會縮減為前一次的一半。這可以用函數式來表示： $$f(t) = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{2}}$$
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指數衰退與半衰期
💡 物質隨時間呈等比減少，每經一個半衰期剩餘量變一半。
🔗 藥物半衰期遞減鏈
- 1 初始劑量 — 時間 t=0，殘留量為 1
- 2 2 小時後 — 經 1 個半衰期，剩 1/2
- 3 4 小時後 — 經 2 個半衰期，剩 (1/2)² = 1/4
- 4 6 小時後 — 經 3 個半衰期，剩 (1/2)³ = 1/8
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🔄 延伸學習：公式模型：y = (1/2)^(t/h)，其中 h 為半衰期時間。
