hce_nchu
113年
物理
第 22 題
Consider a thin horizontal layer of the atmosphere, of thickness $dy$, of area $A$, with pressure $P$ at the bottom. This layer contains $n_V$ molecules per unit volume with an average mass $m$ per molecule, and is under the influence of gravity with gravitational acceleration $g$. What is the magnitude, $dP$, of the pressure difference between the top and bottom of the layer?
- A $mg dy$
- B $mgn_V dy$
- C $mgA dy$
- D $mgn_V A dy$
- E $mgn_V A P dy$
思路引導 VIP
若要維持這一層薄薄的大氣在空間中不會因為重力而掉落，除了重力之外，還有什麼「力」在支撐它的重量？試著寫出這個支撐力與該薄層物理性質（如質量、體積、重力加速度）的關係式，並思考壓力與力的轉換關係。
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恭喜你精準掌握了流體靜力學的核心概念！這道題目要求我們推導大氣壓力隨高度變化的基礎差異量，你能迅速在眾多變數中理出頭緒，表現得非常出色。
靜力平衡與壓力差的來源
在物理觀念中，這一個薄層大氣之所以能維持平衡，是因為底部的壓力 $P$ 與頂部的壓力 $P+dP$ 之間的差值，正好支撐了這一層大氣本身的重量。我們首先計算該薄層的總質量：體積為 $A \cdot dy$，乘以單位體積內的分子數 $n_V$ 與單個分子質量 $m$，可得總質量為 $M = (n_V \cdot A \cdot dy) \cdot m$。根據重力公式 $W = Mg$，這一層的重量即為 $m g n_V A dy$。將此重量除以受力面積 $A$，便能導出壓力差的量值 $dP = m g n_V dy$。
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