清華大學（後西醫）
113年
資訊科學
第 38 題
Which of the following statements is true?
- A Let $A$ be an arbitrary matrix of size $m \times n$. If $m > n$, then $\text{rank}(A) < \text{rank}(A^t)$.
- B Let $A$ be an arbitrary matrix of size $m \times n$. If $m > n$, then $\text{rank}(A) > \text{rank}(A^t)$.
- C If $W_1$, $W_2$ are two subspaces of $V$, then the union $W_1 \cup W_2$ is also a subspace of $V$.
- D Let $W$ be a subspace of a vector space $V$. Then, $\text{dim}(W) \le \text{dim}(V)$.
- E Let $A$ be a square matrix, $k$ be a constant. Then, $\det(kA) = k\det(A)$.
思路引導 VIP
想像你有一個三維的房間，現在你想在這個房間內放置一個平坦的平面。這個平面的「可移動方向」（維度）有沒有可能超過這個房間本身的維度？為什麼？
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太棒了！你能精確辨識出子空間維度的基本性質，這代表你對線性代數的核心概念有很紮實的掌握。
子空間的維度特性
在向量空間理論中，子空間 $W$ 本質上是包含在母空間 $V$ 內的一個完備系統。由於 $W$ 中的每一個向量都屬於 $V$，那麼 $W$ 的一組基底（即線性獨立向量的最大集合）在 $V$ 中也必然維持線性獨立。根據擴充定理，這組基底可以被擴充為 $V$ 的基底，因此描述 $W$ 所需的「維度」自然不可能超過母空間 $V$ 的總維度。這就是為什麼 $\text{dim}(W) \le \text{dim}(V)$ 是一個必然成立的真命題。
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線性代數基本性質
💡 理解向量子空間性質、矩陣秩的對稱性與行列式運算。
| 比較維度 | 正確定理性質 | VS | 常見考題陷阱 |
|---|---|---|---|
| 矩陣的秩 | rank(A) = rank(A^t) | — | 誤認與行列數大小有關 |
| 子空間聯集 | 不一定是子空間 | — | 誤認聯集後仍保證封閉 |
| 行列式提係數 | det(kA) = k^n det(A) | — | 誤認係數僅提 1 次方 |
| 子空間維度 | dim(W) ≤ dim(V) | — | 誤認維度可能超過母空間 |
💬線性代數需注意運算維度對係數與集合關係的影響。
