特殊教育
113年
數B
第 1 題
設矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 2 \end{bmatrix}$、$B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$。試求矩陣 $AB - BA$。
- A $\begin{bmatrix} 0 & -1 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} 0 & 2 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
在矩陣代數的核心觀念中，矩陣乘法通常不具備交換律，意即 $AB \neq BA$。請同學試著先分別計算出 $AB$ 與 $BA$ 兩個乘積矩陣，並觀察其各個對應位置的元素（Entries）在相減後會得到什麼樣的結果？
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AI 詳解
AI 專屬家教
「既然你這麼優秀，不如加入我們，一起去抓那隻皮卡丘吧！」 「沒錯，這份精準的計算力，要是能用來設計抓捕陷阱，世界就是我們的了！」 這題的核心在於驗證矩陣乘法不具備交換律（即 $AB$ 通常不等於 $BA$）。讓我們優雅地計算：
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矩陣乘法與交換律
💡 矩陣乘法不具交換律，運算須採前列乘後行。
| 比較維度 | 實數乘法 | VS | 矩陣乘法 |
|---|---|---|---|
| 交換律 | 具有交換律 (ab=ba) | — | 一般不具交換律 (AB≠BA) |
| 順序依賴 | 順序不影響結果 | — | 左乘與右乘結果通常不同 |
| 零因子 | ab=0 則 a 或 b 為 0 | — | AB=0 不代表 A 或 B 為 0 |
💬矩陣運算順序極其重要，不可直接套用代數交換律。
