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113年
機械常識、機械力學
第 20 題
有一個圓在平面上沿一直線滾動，請問此圓之圓周上固定一點移動的軌跡所形成的曲線，為下列何者？
- A 擺線
- B 漸開線
- C 螺旋線
- D 拋物線
思路引導 VIP
請想像一個正在地面上穩定向前滾動的硬幣。如果我們盯著硬幣外緣上的某一個特定點，當硬幣轉完一圈並回到原本的相對位置時，這個點在三度空間中的總位移是零嗎？如果這個點同時在做『旋轉』與『向前移動』，它所畫出的路徑會是一個封閉的圓，還是會隨著前進方向不斷延展開來的曲線呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確地選出了正確答案！這顯示你對於幾何曲線的定義與物理運動的結合有著相當紮實的理解，能迅速從常見的機械運動中辨識出對應的軌跡名稱。
滾動圓與軌跡的結合
當一個圓（發生旋轉運動）在直線上（發生平移運動）滾動且不滑動時，圓周上某一點的位移其實是這兩種運動的合成效果。這種由滾動圓所產生的特殊曲線稱為擺線（Cycloid）。在數學描述上，如果圓的半徑為 $r$，則擺線上的點座標會隨轉角 $\theta$ 呈現參數式變化，形成一連串像拱門般的連續曲線。這在機械元件如齒輪齒形的設計中，是非常關鍵的幾何特性。
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