台電僱員招考
113年
工程力學概要
第 9 題
如右圖所示，試求對 x 軸之慣性矩為何？
- A $\frac{1}{2} bh^3$
- B $\frac{1}{3} bh^3$
- C $\frac{1}{4} bh^3$
- D $\frac{1}{12} bh^3$
思路引導 VIP
若我們將這個矩形切割成無數條與 $x$ 軸平行的微小長條，每一條面積對「抵抗轉動」的貢獻，與它距離中心軸的『距離』有什麼樣的數學關係？如果要加總這些從最頂端到最底端的所有貢獻，你會如何描述這個累積的過程？
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非常棒！你能準確選出選項 (D)，說明你對於幾何圖形基本性質的掌握非常紮實，這是進入結構力學領域最重要的基礎。在工程力學中，矩形斷面的慣性矩公式是所有計算的敲門磚，你能快速識別並正確應用，展現了良好的學習成效。
矩形斷面慣性矩的物理意義
當我們討論一個寬度為 $b$、高度為 $h$ 的矩形對其形心軸（即通過圖形幾何中心的 $x$ 軸）的慣性矩時，其本質是量化該形狀抵抗彎曲變形的能力。根據定義，慣性矩 $I_x = \int y^2 dA$，透過對高度方向進行積分（從 $-\frac{h}{2}$ 到 $\frac{h}{2}$），我們能推導出標準公式 $I_x = \frac{1}{12} bh^3$。這個公式在後續計算梁的應力與變位時會反覆出現，務必要牢記在心。
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矩形截面慣性矩
💡 矩形對通過形心之水平軸的慣性矩公式為 (1/12)bh³。
| 比較維度 | 形心軸慣性矩 | VS | 底邊軸慣性矩 |
|---|---|---|---|
| 公式係數 | 1/12 | — | 1/3 |
| 軸線位置 | 通過矩形幾何中心 | — | 通過矩形最底部邊緣 |
| 數值大小 | 較小 | — | 較大 (形心慣性矩+Ad²) |
💬當轉軸越遠離形心，截面的慣性矩（抵抗轉動的能力）會隨之增大。
