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高考申論題 114年 [漁業技術] 生物統計學(含流行病學)

第 四 題

📖 題組：
從清池採收後的文蛤池中撿拾遺留的 10 顆文蛤樣本，重量分別為 12、14、18、16、15、11、17、13、10、14 公克，請計算下列各數值：（每小題 5 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題

小題 (四)

變異係數（Coefficient of Variation）

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看到變異係數（CV）應立刻聯想到公式 CV = (S / X̄) × 100%。解題步驟必須先求出樣本平均數（X̄），接著計算樣本標準差（S），最後代入公式求解。特別注意本題為從池中取出的「樣本」資料，因此計算標準差時，分母應使用自由度 n-1。

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【解題關鍵】計算變異係數（CV）需先求得樣本平均數（$\bar{X}$）與樣本標準差（S），公式為 CV = (S / $\bar{X}) \times 100$%。 【解答】 計算：

小題 (一)

請求算以體長估算體重的直線迴歸預測方程式（ yˆ = b0 + b1x ）及其決定係數。（15 分）

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看到求算直線迴歸方程式與決定係數，應立即反應出最小平方法（Least Squares Method）的公式。解題第一步先求出X與Y的加總、平方和與交乘積，藉此推導出離均差平方和（SSxx, SSyy, SSxy），進而算出斜率（b1）與截距（b0），最後代入公式求得決定係數（R²）。

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【解題關鍵】利用最小平方法求算簡單直線迴歸的斜率（b1）與截距（b0），並計算離均差平方和以推導決定係數（R²）。 【解答】 計算：

小題 (二)

請以變異數分析進行假說檢定兩者間是否有顯著的線性迴歸關係（α=0.05）。（15 分）

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看到「以變異數分析檢定線性迴歸關係」，應直覺想到需建構迴歸的 ANOVA 表。解題順序為：先分別計算出 X 與 Y 的總和、平方和及交乘積和，求得 SSxx、SSyy、SSxy，藉此推導迴歸平方和（SSR）與誤差平方和（SSE），最後計算 F 值並與臨界值比較作結。

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【解題關鍵】需先計算離均差平方和，並將總變異（SST）拆解為迴歸變異（SSR）與誤差變異（SSE），再藉由 F 檢定判斷迴歸模型的顯著性。 【解答】 Step 1：設立假說

小題 (三)

樣本標準差（standard deviation）

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計算標準差時，首要確認資料為『樣本』還是『母體』。本題明確指出為 10 顆『樣本』，因此在計算樣本變異數與標準差時，分母必須使用自由度 n-1。依序求出算術平均數、離均差平方和（SS），除以自由度後再開平方根即可得解。

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【解題關鍵】樣本標準差公式 $s = \sqrt{\frac{\sum(X_i - \bar{X})^2}{n-1}}$ 【解答】 令變數 $X_i$ 為第 $i$ 顆文蛤樣本的重量，樣本數 $n = 10$。

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