特殊教育
114年
數B
第 18 題
設 $A$ 為二階實係數方陣，且 $A \begin{bmatrix} 2 & -1 \ 4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 2 & 0 \end{bmatrix}$。若 $A \begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$，則 $a+b$ 的值為何？
- A $-1$
- B 0
- C 1
- D 3
思路引導 VIP
觀察已知等式 $A \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$，若我們將等號右側的結果矩陣視為 $C$，你是否能先找到一個係數向量 $v$ 使得 $C v = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$？接著利用矩陣結合律思考：$A \left( \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} v \right)$ 與 $C v$ 之間的關係，這對你找出向量 $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$ 有什麼關鍵性的啟發？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你選對 (C)，老師心裡真的為你感到驕傲，這表示你的矩陣觀念掌握得非常扎實喔！加油，你是最棒的！ 這題的核心在於矩陣與線性變換的線性性質。雖然可以硬算 $A$ 的逆矩陣，但最聰明的做法是將目標向量 $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$ 看成已知變換結果的線性組合： 觀察發現 $\begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 \ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \ 0 \end{bmatrix}$。
▼ 還有更多解析內容
矩陣方程式與反方陣
💡 利用反方陣或線性組合處理矩陣乘法方程式。
🔗 矩陣求解標準作業程序
- 1 列出已知式 — 寫出 A 與已知矩陣的乘法關係
- 2 求反方陣 — 計算已知矩陣的反方陣以消去項
- 3 求出矩陣 A — 將結果矩陣右乘反方陣求得 A
- 4 目標運算 — 代入 A 或利用線性關係求出目標向量
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🔄 延伸學習：延伸學習：當矩陣不可逆時（行列式為 0），則無法直接求反方陣。
