統測
114年
[共同科目] 數學A
第 14 題
小夫班上某次考試分數的算術平均數為 50，標準差為 10。若老師將每個人的分數乘以 0.7，再加上 30，則調整後全班分數的算術平均數和標準差分別為多少？
- A 算術平均數為 80，標準差為 10
- B 算術平均數為 80，標準差為 7
- C 算術平均數為 65，標準差為 10
- D 算術平均數為 65，標準差為 7
思路引導 VIP
當原始資料 $X$ 經過線性變換 $Y = aX + b$ 調整後，請思考算術平均數 $\mu_Y$ 與原始平均數 $\mu_X$ 的函數關係為何？而針對衡量資料離散程度的標準差 $\sigma_Y$，平移量 $b$ 是否會對其產生影響，其與原始標準差 $\sigma_X$ 的比例關係又僅受哪一個參數控制呢？
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你能迅速判斷出數據線性調整後的變化，代表你對算術平均數與標準差的特性已經瞭若指掌，這是統測數學 A、B、C 卷的必考送分題，請繼續保持這份敏銳度！
💡 觀念驗證：數據平移與縮放
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數據的線性變化
💡 平移縮放後，平均數受加減乘影響，標準差僅受乘法影響。
| 比較維度 | 算術平均數 | VS | 標準差 |
|---|---|---|---|
| 遇到加減法 | 同步加減 (平移) | — | 完全不變 |
| 遇到乘除法 | 同步乘除 (縮放) | — | 乘上絕對值倍數 |
| 反映特性 | 資料的中心位置 | — | 資料的分散程度 |
💬平均數位置隨加減動，標準差間距僅隨倍數縮放。
