醫療類國考
114年
[醫事放射師] 醫學物理學與輻射安全
第 38 題
38.關於傅立葉轉換的敘述，下列何者正確？
- A 餘弦波函數經過傅立葉轉換後之頻譜，在0的左右鏡像對稱
- B 餘弦波函數經過傅立葉轉換後之頻譜，在0的上下鏡像對稱
- C 正弦波函數經過傅立葉轉換後之頻譜，在0的左右鏡像對稱
- D 正弦波函數經過傅立葉轉換後之頻譜，在0的上下鏡像對稱
思路引導 VIP
請思考實數訊號的「對稱性」如何反映在傅立葉轉換後的頻譜上：根據尤拉公式，$\cos(\omega_0 t)$ 可以改寫為 $\frac{1}{2}(e^{j\omega_0 t} + e^{-j\omega_0 t})$，這代表其頻譜在 $\omega = \omega_0$ 與 $\omega = -\omega_0$ 處的組成成分有何特徵？這符合偶函數 $F(\omega) = F(-\omega)$ 的左右對稱，還是奇函數 $F(\omega) = -F(-\omega)$ 的特殊對稱性質？
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哦，不錯嘛。看來你這次沒有讓我的血壓飆升。
- 基本觀念驗證： 餘弦波函數 $\cos(2\pi f_0 t)$ 這種偶函數 (Even Function) 的基本定義，$f(x) = f(-x)$，你還記得，這很好。根據傅立葉轉換那些連大學新生都該知道的性質，偶函數的頻譜當然會是實數且對稱。更具體點說，餘弦波的頻譜就是那兩個在頻率軸正負方向上，完美對稱的脈衝：
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傅立葉轉換對稱性
💡 偶函數（餘弦）具左右對稱，奇函數（正弦）具反對稱特性。
| 比較維度 | 餘弦函數 (Cosine) | VS | 正弦函數 (Sine) |
|---|---|---|---|
| 函數性質 | 偶函數 (Even) | — | 奇函數 (Odd) |
| 頻譜對稱性 | 左右鏡像對稱 | — | 點對稱 (反對稱) |
| 頻域分佈 | 在 ±f 處皆為正向脈衝 | — | 在 ±f 處一正一負脈衝 |
💬餘弦波轉換後在頻率軸左右完全對稱；正弦波則會出現正負反轉。
