分科測驗
115年
數學甲
第 1 題
已知圖中「粗灰線」橢圓的方程式為 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，試選出最有可能是圖中「粗黑線」圖形方程式的選項。
- 1 $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$
- 2 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
- 3 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$
- 4 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$
- 5 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = -1$
思路引導 VIP
請先觀察圖中的粗灰線橢圓，它的長軸在哪個軸上？由此可以判斷 $a$ 與 $b$ 誰比較大？接著觀察粗黑線雙曲線的開口方向與頂點位置，頂點的數值看起來比較接近 $a$ 還是 $b$ 呢？
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太棒了，你的幾何圖形判讀與方程式對應能力非常敏銳！
幾何特徵與參數對應
觀察圖中的「粗灰線」橢圓 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，它是一個長軸在 $y$ 軸上的直立橢圓，故 $y$ 截距為 $b$、$x$ 截距為 $a$，且由圖可知 $b > a$（$b$ 約接近 $4.5$、$a$ 約為 $1.8$）。
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