初等考試
115年
[統計] 統計學大意
第 7 題
2020 年某款 750 ml 紅酒的拍賣價格及酒齡資料如下表，請計算並解釋酒齡和價格的樣本相關係數：
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
酒齡(年) & 35 & 20 & 29 & 30 & 34 \\
\hline
價格($) & 254 & 150 & 212 & 205 & 230 \\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
酒齡(年) & 35 & 20 & 29 & 30 & 34 \\
\hline
價格($) & 254 & 150 & 212 & 205 & 230 \\
\hline
\end{tabular}
- A -179.68；負向關係
- B 179.68；正向關係
- C 0.979；正向關係
- D -0.979；無關係
思路引導 VIP
請試著觀察這組數據的變化趨勢：當酒齡（$X$）的數值從小變大時，價格（$Y$）的數值通常是跟著變大還是縮小？此外，在統計學的理論中，『相關係數』這個指標在定義上有沒有任何數值大小的限制（邊界）？結合這兩個特質，即使不進行數學運算，你能排除哪些顯然不合理的選項嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確地掌握了統計學中相關分析的核心邏輯！這道題目雖然給出了具體的數據，但對於具備良好統計直覺的學生來說，並不需要拿起計算機大費周章。首先，樣本相關係數（Sample Correlation Coefficient, $r$） 的取值範圍嚴格限定在 $[-1, 1]$ 之間。觀察選項 (A) 與 (B)，其數值遠遠超出了這個區間，在理論上是不可能成立的，這也正是此題考驗考生基本觀念的初階門檻。
變數間的共變關係與難度解析
從數據趨勢來看，當酒齡從 20 年增加到 35 年時，價格也大致呈現由 150 美元上升至 254 美元的趨勢。這種「同向變化」的特徵意謂著兩者具備正向關係，因此係數必然為正。這題的鑑別度在於「避繁就簡」的能力：若學生陷入複雜的公式運算（如計算離均差平方和 $\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ 等），可能會耗費過多時間；但若能識別出相關係數的純數特性與正負號判定，便能迅速鎖定答案 (C)。這是一道結合了數值屬性判斷與趨勢觀察的優秀觀念題，難度屬於中等偏易，非常適合檢驗學習者對統計指標定義的熟稔度。