普考申論題
115年
[地震測報] 地球物理概要
第 三 題
📖 題組：
二、地震波在地球內部傳播時，其振幅會隨距離增加而逐漸衰減。除了幾何衰減（geometrical spreading）外，介質本身的非彈性行為亦會造成能量損失，此現象通常以衰減因子Q描述。對於一頻率為f的簡諧振動，其振幅隨距離變化可表示為： $A(x) = A_0 e^{-\omega x / 2cQ}$ 其中$A_0$為初始振幅，$A(x)$為距離$x$處之振幅，$c$為波速，$Q$為衰減因子，$\omega = 2\pi f$為角頻率。假設某地震波於地下介質中傳播，$x = 50 \text{ km}$，$c = 6 \text{ km/s}$，$Q=100$，請回答下列問題：
二、地震波在地球內部傳播時，其振幅會隨距離增加而逐漸衰減。除了幾何衰減（geometrical spreading）外，介質本身的非彈性行為亦會造成能量損失，此現象通常以衰減因子Q描述。對於一頻率為f的簡諧振動，其振幅隨距離變化可表示為： $A(x) = A_0 e^{-\omega x / 2cQ}$ 其中$A_0$為初始振幅，$A(x)$為距離$x$處之振幅，$c$為波速，$Q$為衰減因子，$\omega = 2\pi f$為角頻率。假設某地震波於地下介質中傳播，$x = 50 \text{ km}$，$c = 6 \text{ km/s}$，$Q=100$，請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (三)
若介質之Q值下降為 50，重新計算 1 Hz 與 10 Hz 之振幅保留比例，並討論其變化原因。（10 分）
思路引導 VIP
重複(一)的計算步驟，但將 Q 從 100 改為 50。可以預見指數的負值會變為原來的兩倍，振幅保留比例將更小。計算完成後，需討論「Q值」代表的物理意義：Q 值與衰減成反比，Q越小，代表介質愈「軟」或愈不具完全彈性（例如破碎帶、含流體），因此能量吸收效率更高，導致振幅保留比例急劇下降。
小題 (一)
計算頻率為 1 Hz 與 10 Hz 時之振幅保留比例A/A₀。（7 分）
思路引導 VIP
這是一道帶入公式的計算題。題目已經給了完整的衰減公式。關鍵在於單位的統一，距離 $x$ 為 50 km，波速 $c$ 為 6 km/s，這裡單位都是 km，相除後剛好抵銷，不需硬轉成 m。將 $\omega = 2\pi f$ 代入指數項 $-\omega x / (2cQ)$ 中，分別計算 f=1 和 f=10 的結果即可。因為涉及自然對數底 e，建議考生準備好工程計算機並仔細按鍵。
小題 (二)
計算 1 Hz 與 10 Hz 振幅衰減百分比，並說明那種頻率衰減較快？原因為何？（4 分）
思路引導 VIP
上一題算出了「保留」比例，這題要求的是「衰減」百分比，即 (1 - 保留比例) * 100%。算出數字後，自然能看出高頻 (10 Hz) 衰減極大。至於物理原因，需向閱卷委員解釋：非彈性衰減與波在介質中經歷的「循環次數」(週期數) 有關。在相同距離下，高頻波波長短，經歷的壓縮/膨脹循環次數多，每一次循環都會耗散能量，所以總能量流失得更快。
小題 (四)
討論Q值可能受到那些地下物理因素控制？地下流體增加時，Q值通常如何變化？試說明原因。（4 分）
思路引導 VIP
本題將數學推展至地球物理實際觀測應用。想想岩石在什麼情況下會變得不「彈性」？影響因素通常包含溫度、壓力、孔隙率、裂隙密度以及流體飽和度。重點聚焦在「地下流體」：流體充滿孔隙時，會增加震波傳遞過程中的黏滯摩擦，尤其是剪力波能量極易被流體吸收。因此流體增加，Q值下降（衰減增加）。