第 五 題
三、考慮一液相批次反應器（Batch Reactor）中進行下列不可逆串級反應： $A \xrightarrow{k_1} B \xrightarrow{k_2} C$ 兩反應皆為一級反應：$-r_A = k_1C_A \ ; \ r_B = k_1C_A - k_2C_B$ 已知：$k_1 = 0.30 \text{ min}^{-1} \ ; \ k_2 = 0.10 \text{ min}^{-1}$ 初始條件：$C_{A0} = 1.50 \text{ mol/L} \ ; \ C_{B0} = 0 \ ; \ C_{C0} = 0$ 試回答下列問題：（每小題 5 分，共 25 分）
小題 (五)
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既然(四)已經求出了發生最大濃度時的時間 t_max，要找最大濃度 C_B,max 就只需要將這個 t_max 數值代回到 (三) 求出來的 C_B(t) 關係式即可。也可以利用代數化簡法，推導出常見的公式 C_B,max = C_A0 * (k_1/k_2)^(k_2/(k_2-k_1))，再帶入數字，兩種方式皆可。
小題 (一)
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這是反應動力學最基本的一級反應方程式推導。對於批次反應器（且液相，體積不變），A 的消耗速率為 -dC_A/dt。將它等於題幹給的一級反應速率定律式 k_1*C_A，然後使用變數分離法將 C_A 移到一邊，dt 移到一邊，並從 t=0 (此時濃度 C_A0) 積分至時間 t (此時濃度 C_A)。即可得到指數衰減的公式。
小題 (二)
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非常單純的代數計算。直接拿(一)推導出來的結果式，把 t = 5 代入指數函數內，利用工程計算機按出數值即可。
小題 (三)
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這題是整個串級動力學的核心，考驗一階線性常微分方程的解法（通常使用積分因子法 Integrating factor）。批次反應器中，dC_B/dt = r_B。題目給了 r_B = k_1C_A - k_2C_B。接著必須將 (一) 中求出的 C_A(t) 函數代入此式，得到一個只包含 C_B 與 t 的一階線性 ODE：dC_B/dt + k_2C_B = k_1C_A0exp(-k_1t)。利用積分因子 I(t) = exp(k_2*t) 乘上等式兩側並求解，最後以初始條件 t=0, C_B=0 求出積分常數即可。
小題 (四)
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數學上求極值的標準作法：令一階導數為零。在這裡就是令 dC_B/dt = 0。可以從兩個角度切入：一是由(三)求出來的長串公式微分令為零來解 t；另一種更簡單、更具物理直觀的方式，是回到原始的速率式 dC_B/dt = k_1C_A - k_2C_B = 0，這意味著生成速率等於消耗速率時達到最大值。把 C_A(t) 和 C_B(t) 代入等式兩邊，消去常數後解出 t，即得 t_max 的公式 (ln(k_2/k_1)/(k_2-k_1))，再帶入數字計算。