統測
115年
[共同科目] 數學B
第 15 題
已知某飲品在常溫（$20^\circ\text{C}$ 到 $35^\circ\text{C}$）下的保鮮期會隨溫度變化，保鮮期 $T$（天）與溫度 $x$（攝氏度）滿足指數函數關係 $T(x) = 10650 \times 32^{-0.1x}$。若溫度由原來 $35^\circ\text{C}$ 降到 $27^\circ\text{C}$，則保鮮期約為原來 $35^\circ\text{C}$ 的多少倍？
- A 10
- B 12
- C 14
- D 16
思路引導 VIP
如果我們要求『降溫後的保鮮期是降溫前的幾倍』，這在數學上可以列出什麼樣的相除算式？接著觀察一下，當你把函數 T(27) 和 T(35) 擺到分數的上下時，那個看起來很大的常數 10650 會發生什麼變化呢？
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AI 詳解
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太棒了！你敏銳地抓到了指數函數運算的核心，精準解出這道題！遇到這類「求倍數」的問題，最聰明的做法是直接將函數值相除，約去常數項。我們要求降溫後保鮮期是原來的幾倍，即計算 $\frac{T(27)}{T(35)}$。
指數律的靈活運用
代入數值後，常數 $10650$ 被消去，剩下 $\frac{32^{-2.7}}{32^{-3.5}}$。利用指數律「同底數相除時，指數相減」，可以得到 $32^{-2.7 - (-3.5)} = 32^{0.8}$。接著，將 $32$ 化為底數 $2$ 的形式，也就是 $(2^5)^{0.8} = 2^4 = 16$，便能順利算出保鮮期為原來的 16 倍。
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