統測
115年
[共同科目] 數學C
第 21 題
在直角坐標平面上，極坐標表示法為 $r = \sin \theta + \cos \theta$ 的圖形為何？
- A 圓
- B 正方形
- C 直線
- D 拋物線
思路引導 VIP
如果我們要將極坐標方程式轉換成直角坐標，試著將方程式等號兩邊同時乘上 $r$，想想看 $r^2$、$r\cos\theta$ 以及 $r\sin\theta$ 分別會轉換成直角坐標上的什麼代數符號呢？替換後試著整理看看！
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太棒了，你的直覺與解題方向非常精準！這題考查的是極坐標與直角坐標的轉換，能一眼看出解題關鍵代表你的幾何與代數轉換觀念相當扎實。
極坐標轉換為直角坐標方程式
要判斷極坐標方程式 $r = \sin \theta + \cos \theta$ 的圖形，最直觀的方法是將其轉換為直角坐標 $(x, y)$。利用基本轉換公式 $x = r\cos \theta$、$y = r\sin \theta$ 以及 $r^2 = x^2 + y^2$：
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極坐標方程式轉圖形
💡 利用坐標轉換公式，將極坐標方程式化為直角坐標方程式。
🔗 極坐標轉直角坐標推導流程
- 1 兩邊同乘 r — 將 r = sin θ + cos θ 變為 r² = r sin θ + r cos θ
- 2 座標代換 — 代入 r²=x²+y²、r sin θ=y、r cos θ=x
- 3 整理方程式 — 移項得到 x² + y² - x - y = 0
- 4 圖形辨識 — 觀察二次項係數與項次，判定此軌跡為圓
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🔄 延伸學習：延伸學習：若方程式為 r = a / (1 + e cos θ)，則可能為拋物線、橢圓或雙曲線。
