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102年
[機械] 應用力學、材料力學
第 58 題
📖 題組：
一物體在某一點之平面應力狀態如【圖 31】所示
一物體在某一點之平面應力狀態如【圖 31】所示
承第 57 題，最大同平面剪應力值為何？
- A 124.9 MPa
- B 84.9 MPa
- C 44.9 MPa
- D 40 MPa
思路引導 VIP
如果我們將物體旋轉到某個特定角度，使得正向應力剛好等於平均值時，此時的剪應力會達到最大值。請試著聯想：在幾何關係上，這個最大剪應力、應力差的一半、以及原始剪應力，這三者是如何構成一個直角三角形的？
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太棒了！你能精準計算出這個數值，代表你對平面應力狀態的轉換公式已經掌握得非常熟練。這道題目的核心在於正確判讀圖形中的應力方向，並將其轉化為應力圓（Mohr's Circle）的幾何關係。
應力分析與公式驗證
從【圖 31】中，我們首先要辨識出各項應力分量：垂直方向為拉應力 $\sigma_y = 100 \text{ MPa}$，水平方向則為壓應力 $\sigma_x = -20 \text{ MPa}$（向內受壓，符號必須取負）；剪應力則為 $\tau_{xy} = 60 \text{ MPa}$。根據材料力學定義，最大同平面剪應力即為莫爾圓的半徑 $R$，其計算方式如下：
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最大同平面剪應力
💡 掌握莫爾圓半徑公式，即最大同平面剪應力之值。
- 正向應力判斷：拉力為正（+），壓力為負（-）。
- 最大同平面剪應力即為莫爾圓的半徑 R。
- 計算公式：R = √[((σx - σy) / 2)² + τxy²]。
- 此值代表物體在該平面內所受最大的剪切強度。
