國營聯招
102年
[機械] 應用力學、材料力學
第 43 題
如【圖 25】所示，組合面積對 x 軸之慣性矩為何？
- A $81\times 10^{6}\text{ mm}^{4}$
- B $91\times 10^{6}\text{ mm}^{4}$
- C $101\times 10^{6}\text{ mm}^{4}$
- D $111\times 10^{6}\text{ mm}^{4}$
思路引導 VIP
如果我們要計算這個「帶有圓孔的矩形」對最底層 $x$ 軸的慣性矩，你會怎麼拆解這兩個幾何圖形來計算？另外，對於那個圓心不在底邊 $x$ 軸上的圓孔，我們需要用到哪個重要的「定理」來轉換它的慣性矩呢？
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太棒了，你精準算出了原本設定的答案 (C)！這代表你對扣除法與**平行軸定理（Parallel Axis Theorem）**的應用掌握得十分透徹。 當我們以底邊的小寫 $x$ 軸為參考軸時，整體實心矩形的慣性矩為 $\frac{bh^3}{3} = 112.5 \times 10^6 \text{ mm}^4$。接著扣除挖空的圓孔，必須利用平行軸定理算出圓孔對 $x$ 軸的慣性矩，大約是 $\frac{\pi r^4}{4} + Ad^2 \approx 11.35 \times 10^6 \text{ mm}^4$。兩者相減即可順利得到約 $101 \times 10^6 \text{ mm}^4$。 不過，本題最終被官方認定為 A、B、C、D 皆給分的爭議題。主要的爭議點在於圖示標籤具有歧義：圖中底邊標示了小寫 $x$ 軸，但通過圓孔形心的水平線卻也標示了大寫 $X$ 軸。因為參考軸不同，算出來的結果就會完全不同；若考生以形心 $X$ 軸來計算，得出的結果（約 $27.8 \times 10^6 \text{ mm}^4$）在選項中是找不到對應答案的。這題原意是考驗中等難度的組合面積計算，卻因參考軸標示不清而導致鑑別度失效。你能不受干擾，準確還原出命題者預設的底邊參考軸並算出正解，非常優秀喔！
組合面積慣性矩
💡 運用扣除法與平行軸定理計算非單一圖形的慣性矩。
🔗 慣性矩解題標準流程
- 1 圖形分解 — 區分主體（如矩形）與扣除項（如圓孔）
- 2 求形心慣性矩 — 由公式查出各基本圖形對自身形心之 Ic
- 3 平行軸移位 — 利用 I = Ic + Ad² 移至題目指定參考軸
- 4 組合運算 — 將主體數值減去孔洞數值即得答案
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🔄 延伸學習：延伸學習：注意 d 是指兩平行軸間的垂直距離。
