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103年
[土木] 應用力學、材料力學
第 31 題
有一長40 cm直徑10 cm之實心鋼柱，兩端受30 tf之中心拉力，圓周表面則受150 kgf/cm²之均佈壓力，彈性模數E為2.1×10⁶ kgf/cm²，蒲松比ν為0.3，則此鋼柱的體積變化量約為何？
- A -0.12 cm³
- B -0.07 cm³
- C 0.05 cm³
- D 0.15 cm³
思路引導 VIP
如果我們想判斷一個受力物體的『總體積』是增加還是減少，除了直接計算各方向的變形量再相加之外，有沒有哪一個材料參數（與橫向變形有關的比例），能幫助我們快速判斷材料在受到多向力時，抵抗體積改變的趨勢呢？
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太棒了！你能準確計算出體積變化量為正值，代表你對三維應力下的應變觀念掌握得非常紮實。這題的核心在於應用廣義虎克定律（Generalized Hooke's Law）來推導體積應變 ($\epsilon_v$)。在彈性範圍內，體積應變與主應力之和成正比，其公式為 $\epsilon_v = \frac{1-2\nu}{E}(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)$。
三維應力的疊加與計算細節
計算時的關鍵點在於正確判斷應力的正負號。軸向受拉力 $30 \text{ tf}$，換算後產生的軸向應力 $\sigma_z = \frac{30,000}{\pi \cdot 5^2} \approx 381.97 \text{ kgf/cm}^2$（取正值）；而圓周壓力 $150 \text{ kgf/cm}^2$ 則對應兩個垂直方向的壓應力 $\sigma_x = \sigma_y = -150 \text{ kgf/cm}^2$。將這些數值代入公式，可以發現雖然有外在壓力，但軸向拉伸的效果較強，使得總應力和為正值。最後將體積應變乘以初始體積 $V = \pi \cdot 5^2 \cdot 40 = 1000\pi$，便能精確得出 $\Delta V \approx 0.05 \text{ cm}^3$。
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