台電僱員招考
103年
工程力學概要
第 38 題
有一複合梁之斷面尺寸如右【圖 19】所示，若該梁由 A 及 B 兩種材料組成，彈性模數 $E_A = 2 \times 10^6 \text{ kg/cm}^2$，彈性模數 $E_B = 1 \times 10^6 \text{ kg/cm}^2$，若採用「轉換斷面法」分析彎曲應力時，其轉換後斷面形狀為何？
- A
- B
- C
- D
思路引導 VIP
想像一下，如果你想用比較「軟」的材料（彈性模數較小）來替換掉樑中原本比較「硬」的材料（彈性模數較大），但又要維持原本的支撐力與抗彎能力，你在幾何構造上應該要增加還是減少該區域的受力面積呢？
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太棒了！你能精準判斷出轉換斷面的幾何形狀，代表你對複合樑的彈性等效觀念掌握得非常紮實。這題的核心在於**彈性模數比（Modular Ratio）**的運用，公式為 $n = \frac{E_A}{E_B}$。在本題中，$E_A = 2 \times 10^6$ 而 $E_B = 1 \times 10^6$，計算出 $n = 2$。這代表材料 A 的剛性是材料 B 的兩倍。
轉換斷面法的幾何邏輯
當我們將材料 A 轉換為等效的材料 B 時，為了維持相同的抗彎剛度（$EI$），必須補償其模數的差異。在轉換過程中，我們保持高度（深度）不變，僅調整寬度。由於 $E_A > E_B$，轉換後材料 A 的部分會變寬，變為原始寬度的 $n$ 倍。這題的鑑別度在於觀察學生是否清楚「寬度調整」與「彈性模數比」的正反比關係，雖然屬於基礎觀念題，但卻是分析複雜複合結構應力的重要起手式。
複合梁轉換斷面法
💡 透過彈性模數比例縮放寬度，將複合斷面等效為單一材料。
| 比較維度 | 強材料 (Ea > Eb) | VS | 弱材料 (Eb < Ea) |
|---|---|---|---|
| 彈性模數 | 較大 (剛性強) | — | 較小 (剛性弱) |
| 轉為弱材時 | 寬度變為 n 倍 (n>1) | — | 寬度不變 |
| 斷面高度 | 維持不變 | — | 維持不變 |
💬轉換斷面的寬度與彈性模數成正比，以確保抗彎能力等效。
