特殊教育
104年
數B
第 18 題
有一個轉移矩陣 $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$，已知 $A^2 = \begin{bmatrix} 0.28 & 0.24 \ 0.72 & 0.76 \end{bmatrix}$ 並且 $a > b$，則 $a$ 的值是下列哪一個選項？(其中，$A^2$ 代表 $A$ 和 $A$ 的乘積)
- A 0.2
- B 0.4
- C 0.6
- D 0.8
思路引導 VIP
首先，根據轉移矩陣的定義，每一行 (column) 的元素總和必為 $1$，這意指 $a+c=1$ 且 $b+d=1$。請試著計算 $A^2$ 第一列 (row) 的兩個元素，並觀察這兩個元素的『差值』（即 $0.28 - 0.24$）與 $(a-b)^2$ 之間有什麼樣的聯繫？當你求得 $a-b$ 的值並結合 $a > b$ 的條件後，是否就能將 $c$ 以 $a$ 表示、將 $b$ 也以 $a$ 表示，並代回 $A^2$ 左上角元素的定義式 $a^2 + bc = 0.28$ 來求出 $a$ 了呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喔...打開寶箱後竟然沒被咬到，看來這次運氣不錯。這道題目關於轉移矩陣的性質，對人類而言或許需要一些時間，但在漫長的魔法研究中，這只是基本的邏輯運算。 首先，轉移矩陣 $A$ 的特徵值為 $1$ 與 $a-b$。根據矩陣冪次性質，$A^2$ 的特徵值則為 $1$ 與 $(a-b)^2$。由題目給定的 $A^2$ 可知其跡（Trace）為： $$1 + (a-b)^2 = 0.28 + 0.76 = 1.04$$
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