高考申論題
105年
[機械工程] 熱力學
第 一 題
📖 題組：
試證明下列熱力學關係式，其中 P 為壓力，v 為比容，T 為絕對溫度，sat 為濕區狀態（wet region），f 為飽和液態狀態，g 為飽和氣態狀態，cp為定壓比熱，h 為焓。 (一)克拉佩龍方程式（Clapeyron equation） (dP/dT)sat = hfg / (T*vfg) （10 分） (二)利用上式之結果可推導相變化下之定壓比熱關係式 cp,g - cp,f = T [ ∂(hfg/T) / ∂T ]P + vfg * (dP/dT)sat （15 分）
試證明下列熱力學關係式，其中 P 為壓力，v 為比容，T 為絕對溫度，sat 為濕區狀態（wet region），f 為飽和液態狀態，g 為飽和氣態狀態，cp為定壓比熱，h 為焓。 (一)克拉佩龍方程式（Clapeyron equation） (dP/dT)sat = hfg / (T*vfg) （10 分） (二)利用上式之結果可推導相變化下之定壓比熱關係式 cp,g - cp,f = T [ ∂(hfg/T) / ∂T ]P + vfg * (dP/dT)sat （15 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
克拉佩龍方程式（Clapeyron equation） (dP/dT)sat = hfg / (T*vfg)
思路引導 VIP
看到克拉佩龍方程式推導，應直覺聯想到兩相平衡時的熱力學條件：兩相的『比吉布斯自由能（specific Gibbs free energy, g）』相等。接著利用熱力學基本關係式 dg = vdP - sdT 展開，再結合相變過程的熵與焓關係式 (h_fg = T * s_fg) 進行代數轉換即可得證。
小題 (二)
利用上式之結果可推導相變化下之定壓比熱關係式 cp,g - cp,f = T [ ∂(hfg/T) / ∂T ]P + vfg * (dP/dT)sat
思路引導 VIP
這題是熱力學關係式的經典推導，看到等壓比熱 c_p 應直覺聯想到其熱力學定義 c_p = (∂h / ∂T)_P。解題關鍵在於利用微積分的「商的微分法則」展開偏微分項 [∂(h_fg/T) / ∂T]_P，最後將多餘的 h_fg/T 項以題幹給定的克拉佩龍方程式（Clapeyron equation）代換，即可輕鬆得證。
克拉佩龍方程式推導
💡 利用相平衡吉布斯自由能相等推導飽和壓力與溫度的關係
🔗 克拉佩龍方程式推導邏輯
- 1 設定相平衡 — 假設飽和液/氣兩相吉布斯自由能相等 g_f = g_g
- 2 性質代換 — 套用基本關係式 dg = vdP - sdT 整理出斜率項
- 3 熵焓轉換 — 利用 s_fg = h_fg / T 將熵變化代換為潛熱
- 4 得證公式 — 得出 (dP/dT)sat = h_fg / (T * v_fg)
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🔄 延伸學習：若進一步假設蒸氣為理想氣體且忽略液相體積，可推導出克勞修斯-克拉佩龍式。
