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高考申論題 105年 [統計] 迴歸分析

第 一 題

📖 題組：
四、針對某公司員工,得一迴歸分析如下: 模型Y=β₀+β₁X1+β₂X2 + β₃X3+βMM+βRR+ε。 Y=量化工作績效,X1=年資(以年為單位),X2=薪資(以萬元為單位),X3=所屬小組之人數,(M, R) = (1,0)為行銷部門,(M, R) = (0,1)為研發部門,(M, R) = (0, 0) 為行政部門。 應變數:Y 使用的觀測值數目:70 SSTO = 36.304 SSR(X1) = 14.288, SSR(X2 | X1) = 0.676, SSR(X3 | X1, X2) = 5.766, SSR(M | X1, X2, X3) = 1.212, SSR(R | X1, X2, X3, M) = 0.357 參數估計值 變數 參數 標準 t值 Pr> |t| 估計值 誤差 Intercept 0.535 0.491 1.09 0.2793 X1 0.029 0.006 4.84 <.0001 X2 -0.180 0.107 -1.68 0.0951 X3 0.044 0.011 4.00 0.0001 M 0.433 0.163 2.66 0.0099 R 0.175 0.137 1.28 0.2061
📝 此題為申論題，共 6 小題

小題 (一)

如薪資(X2)之單位由萬元改為千元,上述提供之資料有那些不會改變?有那些 會改變?變化為何?(8分)

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看到自變數單位的線性縮放（如乘上常數），應直覺想到迴歸係數與其標準誤會作反比例縮放，以維持預測值恆定。接著推導該變換對檢定統計量（t值）、p值及模型整體配適（各類平方和 SSR、SSTO）的影響。

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【解題思路】利用線性尺度變換（Scaling）原理，自變數乘上常數 c 時，其對應的迴歸係數與標準誤皆需除以 c，但因模型張成的線性空間不變，故模型整體的預測與其他統計推論皆維持不變。 【詳解】 已知：原模型中 $X_2$ 單位為「萬元」。薪資單位改為「千元」後，設新變數為 $X_2^$，則 $X_2^ = 10 X_2$，即 $X_2 = X_2^* / 10$。

小題 (二)

在其他變數固定下,檢定薪資(X2)對Y之效果是否顯著為負?(a=0.05)(8分)

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本題測驗單一迴歸係數的假設檢定。關鍵在於辨識題目要求「顯著為負」代表需進行「單尾（左尾）檢定」，考生應懂得將報表上預設的「雙尾 p-value」除以 2 轉換成單尾 p-value，再與給定的顯著水準進行比較以做出結論。

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【解題思路】利用 t 檢定進行單一參數假設檢定，並針對「顯著為負」的要求，將報表提供的雙尾 p-value 轉換為單尾 p-value 進行判斷。 【詳解】 已知：

小題 (三)

Ho:β = 0 vs. H₁:β≠0之檢定(a=0.05),有何結論?又,是否要去除截距項? (敘明理由)(8分)

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判斷截距項是否顯著，直接查看報表中 Intercept 的 p-value 或 t 值與顯著水準進行比較。接著從統計理論面思考，即使截距項不顯著，通常也不建議移除，因為移除後會變成『過原點迴歸』，導致殘差和不為零、判定係數被扭曲，且自變數全為零的狀況在實務上往往屬於無意義的資料外插。

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【破題】 本題測驗個別參數之 t 檢定判定，以及「無截距迴歸模型」（過原點迴歸）對統計理論與實務解釋的影響。 【論述】

小題 (四)

就檢定 Ho:βM=βR = 0 vs. H₁:not Ho,請算出 F檢定統計量之值及寫出決策法則。 (α=0.05) (12分)

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看到檢定部分迴歸係數是否為零（H0: βM=βR=0），應直覺想到使用「偏 F 檢定 (Partial F-test)」。解題關鍵在於利用題目提供的「逐步迴歸平方和 (Type I SS)」相加求得分子所需的額外平方和 (Extra Sum of Squares)，並由 SSTO 扣除所有 SSR 總和求出分母所需的完全模型 MSE。

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【解題關鍵】利用「額外平方和原則（Extra Sum of Squares）」建立偏 F 檢定（Partial F-test）統計量，檢定部分參數是否同時為零。 【解答】 計算：

小題 (五)

求R2(coefficient of determination 判定係數),並解釋其涵意。(8分)

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本題測驗判定係數 (R²) 的計算與統計涵義。計算上，需知道整體模型的迴歸平方和 (SSR) 等於所有循序平方和 (Type I SS) 的總和，再套用公式 R² = SSR / SSTO 即可求得；解釋時務必結合題目情境，明確指出「哪些自變數」解釋了「應變數」多少比例的變異。

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【解題關鍵】判定係數 $R^2 = SSR / SSTO$，其中模型整體的迴歸平方和 ($SSR$) 可由各變數的循序平方和 (Sequential SS, 即 Type I SS) 加總求得。 【解答】 計算：

小題 (六)

經變數選取後,得估計迴歸式為Ŷ = 0.01 +0.025X1 + 0.045X3 +0.342M,請分別 解釋X3 及M的係數估計值之涵意。(8分)

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本題測驗多元迴歸模型中「偏迴歸係數」與「虛擬變數」的實務解釋能力。解題關鍵在於必須強調「控制模型中其他變數不變」的前提；連續變數 (X3) 解釋為邊際變動效果，虛擬變數 (M) 則須準確指出是相對於變數選取後「新基準組」(M=0，即行政與研發合併)的平均差異。

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【破題】 在多元迴歸模型中，解釋個別變數的估計係數時，必須基於「控制其他變數不變（ceteris paribus）」的前提，來探討該變數對應變數平均值的獨立影響。 【論述】

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